[백준]10159번 저울

https://www.acmicpc.net/problem/10159

10159번: 저울

문제

무게가 서로 다른 N 개의 물건이 있다. 각 물건은 1부터 N 까지 번호가 매겨져 있다. 우리는 일부 물건 쌍에 대해서 양팔 저울로 어떤 것이 무거운 것인지를 측정한 결과표를 가지고 있다. 이 결과표로부터 직접 측정하지 않은 물건 쌍의 비교 결과를 알아낼 수도 있고 알아내지 못할 수도 있다. 예를 들어, 총 6개의 물건이 있고, 다음 5개의 비교 결과가 주어졌다고 가정하자. ([1]은 1번 물건의 무게를 의미한다.)

[1]>[2], [2]>[3], [3]>[4], [5]>[4], [6]>[5]

우리는 [2]>[3], [3]>[4]로부터 [2]>[4]라는 것을 알 수 있다. 하지만, 물건 2와 물건 6을 비교하는 경우, 앞서의 결과만으로는 어느 것이 무거운지 알 수 없다. 이와 같이, 물건 2는 물건 1, 3, 4와의 비교 결과는 알 수 있지만, 물건 5, 6과의 비교 결과는 알 수 없다. 물건 4는 모든 다른 물건과의 비교 결과를 알 수 있다. 

비교 결과가 모순되는 입력은 없다고 가정한다. 위 예제의 기존 측정 결과에 [3]>[1]이 추가되었다고 가정하자. 이 경우 [1]>[2], [2]>[3]이므로 우리는 [1]>[3]이라는 것을 예측할 수 있는데, 이는 기존에 측정된 결과 [3]>[1]과 서로 모순이므로 이러한 입력은 가능하지 않다. 

물건의 개수 N 과 일부 물건 쌍의 비교 결과가 주어졌을 때, 각 물건에 대해서 그 물건과의 비교 결과를 알 수 없는 물건의 개수를 출력하는 프로그램을 작성하시오. 

입력

첫 줄에는 물건의 개수 N 이 주어지고, 둘째 줄에는 미리 측정된 물건 쌍의 개수 M이 주어진다. 단, 5 ≤ N ≤ 100 이고, 0 ≤ M ≤ 2,000이다. 다음 M개의 줄에 미리 측정된 비교 결과가 한 줄에 하나씩 주어진다. 각 줄에는 측정된 물건 번호를 나타내는 두 개의 정수가 공백을 사이에 두고 주어지며, 앞의 물건이 뒤의 물건보다 더 무겁다.

출력

여러분은 N개의 줄에 결과를 출력해야 한다. i 번째 줄에는 물건 i 와 비교 결과를 알 수 없는 물건의 개수를 출력한다.

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전형적인 Floyd-Warshall 문제이다. 문제를 읽으면 두 물건을 비교를 해야하는 것 같다. 각 물건의 무게가 서로 부등호의 관계가 있으므로 방향이 있는 그래프를 사용하면 된다. 그래프를 나타낼 자료구조로는 adjacent matrix를 사용했다.

a < b  그리고 b < c 라는 관계식이 있으면 a < c라는 새로운 관계식을 얻게 되는데 인접행렬을 순회하면서 새로운 정보로 행렬을 최신화 해주면 된다. 이때 방향성이 있다고 a < b 라는 관계식을 얻게 된다면 [a][b] = (a 가 b 보다 작다) 만 인접행렬에 추가할 것이 아니라 [b][a] = (b 가 a 보다 크다) 와 같이 두가지 경우로 나누어 값을 입력해주어야 한다! 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define SMALL 1
#define BIG 2

using namespace std;
int N,M;
int adj[101][101] = { 0 };

void solve() {
	for (int k = 1; k <= N; k++) {
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				if (adj[i][k] == adj[k][j] && !adj[i][j])
					adj[i][j] = adj[i][k]; 
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		int cnt = -1;

		for (int j = 1; j <= N; j++) {
			if (!adj[i][j])
				cnt++;
		}
		printf("%d\n", cnt);
	}


}

int main() {
	cin >> N >> M;
	for (int i = 0; i < M; i++) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		adj[a][b] = BIG;
		adj[b][a] = SMALL;
	}
	solve();
	//solve2();

	return 0;
}

 

 

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문제를 처음보고 방향이 있는 그래프(digraph)를 사용하여 문제를 풀면 될 것이라고 생각했다. 알고리즘 시간에 Floyd-Warshall algorithm이라는 것의 이름만 듣고 시간이 부족하여 다루지는 못하였다. 그래서 이 문제가 유명한 Floyd-Warshall algorithm이라는 것을 모르고 그냥 그래프 문제의 일종이라고 생각하고 문제를 풀 방법을 구상하였다. 인접행렬을 사용할 계획을 했고 처음에는 adj[i][j] = 1 만을 활용하여 입력을 받았으나 생각해보니 반대로 작다라는 것도 무게를 비교할 수 있기 때문에 다른 숫자를 활용하여 입력을 받았다. for문 두개를 활용하여 인접 행렬을 탐색하며 adj[i][j] 에서 BIG/SMALL 을 만났다면 j행에 가서 j 보다 크거나 작은값 즉, j열에서 BIG/SMALL 값들을 가지고 i번째 행도 최신화 해주는 과정을 가졌다.

for (int i = 1; i <= N; i++) {
	for (int j = 1; j <= N; j++) {
    	if (adj[i][j]) {
			for (int k = 1; k <= N; k++) {
				if (adj[j][k] == adj[i][j])
					adj[i][k] = adj[i][j];
			}
		}
	}
}

이렇게 코드를 구현하니 주어진 예제는 모두 통과가 되어서 가능한 코드인 줄 알았는데 제출을 하자마자 틀렸습니다가 나왔다. 그렇게 고민을 하고 코드의 문제점을 모르겠어서 구글링을 한 결과 전형적인 Floyd-Warshall 문제라는 것을 확인 할 수 있었다. 이 알고리즘은 [i][k] 와 [k][j]가 연결 되어있다면 [i][j]의 값을 최신화 시켜주는 방법을 활용하고 있었다. 그래서 이 방법을 코드로 작성하여 제출하니 성공을 하긴 하였다. 그래서 내 코드의 문제점이 무엇인지 알아내려 했으나 반례를 생각 해 낼 수 없었다. 최신화 순서의 차이인 것 같았는데 주어진 예제로는 내 방식과 Floyd-Warshall으로 나온 인접행렬들의 값이 모두 똑같았다. Floyd-Warshall 의 방법은 무조건 반복문을 세번 돌아 n^3번 반복 되지만 나는 inner loop의 반복문 전에 조건문이 있어서 오히려 더 효율적인 것 같아서 의아했다.(사실 이부분에서 내 방식이 틀렸을것 같다는 생각을 했다. 이게 더 효율적이였다면 누군가 벌써 이 방식으로 Floyd-Warshall algorithm을 대체하지 않았을까?). 아직까지 답을 찾지 못해서 추후에 더 생각을 해보아야겠다.